TRANSFORMASI ELEMENTER & DETERMINAN

Transformasi Elementer 
Kaidah-kaidah transformasi elementer : 
------ Apabila ada matriks A = (aij) --------

• Hij(A) = Transformasi elementer pada matriks A, dimana baris ke-i ditukar dengan baris ke-j.

• Kij(A) = Transformasi elementer pada matriks A, dimana kolom ke-i ditukar dengan kolom ke-j.

• Hi(^)(A) =  baris ke-i dikalikan dengan ^ dimana (^≠0)

• Ki(^)(A) = kolom ke-i dikalikan dengan ^ 

• Hij(^)(A) = baris ke-i ditambah dengan ^ dikali baris ke-j.  Hi+ (^Hj)

• Kij(^)(A) = nbaris ke-i ditambah dengan ^ dikali kolom ke-j.

• Jika diketahui B adalah matriks transformasi elementer dari A maka matriks A dicari dengan mengambil invers dari matriks B.

Matriks Ekivalen
Dua matriks A dan B disebut ekivalen, ditulis A ∼ B, jika B diperoleh dari A dengan melakukan transformasi elementer, dan sebaliknya A diperoleh dari B dengan melakukan invers transformasi elementer. 
Contoh :

Rank Matriks

Rank baris dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris matriks A.
Rank kolom dari matriks A adalah dimensi dari ruang kolom matriks A. 

Bila rank baris = rank kolom, maka rank matriks A yaitu r(A) adalah harga/nilai dari rank baris/rank kolom matriks A tersebut.

Dengan kata lain, rank dari matriks menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris/kolom yang bebas linear. 

Untuk mencari rank matriks dapat dilakukan dengan transformasi elementer, yaitu dengan cara sebanyak mungkin mengubah baris kolom menjadi vektor nol.
Contoh :

Petunjuk menentukan rank matriks :
i. Bila matriks hanya mempunyai dua baris, maka cukup diperiksa apakah elemen-elemen pada baris ke-1 dan baris ke-2 saling berkelipatan. 
Contoh : 

  ii. Secara umum :

1. Pilih baris / kolom yang bukan vektor nol, dan pilih elemen pada baris/kolom tersebut yang tidak sama dengan nol sebagai elemen pivot. Pada contoh transformasi baris a13 =1 (≠ 0), kemudian pilih baris yang mengandung elemen 1 atau –1 sebagai elemen pivot.
2. Jadikan nol semua elemen yang sekolom dengan elemen pivot melalui transformasi baris oleh elemen pivot tersebut. Pada contoh diatas a23, a33 dan a43 dijadikan nol.
3. Selanjutnya tidak perlu lagi memeperhatikan baris pivot diatas. Perhatikan baris-baris yang tinggal. Pada contoh diatas adalah baris. Kerjakan langkah (1) terhadap mereka. Pada contoh diatas pilih baris 4 dengan elemen pivot a41=1. Seterusnya kembali lagi pada langkah a dan b.
4. Proses ini akan berakhir bila langkah a tidak dapat dikerjakan lagi, yaitu bila telah menjadi baris nol. 

Determinan

• Determinan merupakan sebuah bilangan tunggal atau skalar.
• Hanya dijumpai dalam matriks bujur sangkar. 

Jika determinan suatu matriks bujur sangkar adalah nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks singular. Dan jika determinan matriks tersebut bukan nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks non singular. Matriks nonsingular, secara linear tidak tergantung (saling independent)

Determinan Matriks Ordo 2 x 2 :

Contoh :