BARIS DAN DERET

A. BARIS

Barisan merupakan urutan dari suatu anggota-anggota himpunan berdasarkan suatu aturan tertentu. Setiap anggota himpunan diurutkan pada urutan/suku pertama, kedua, dan seterusnya. Untuk menyatakan urutan/suku ke-n dari suatu barisan dinotasikan . Barisan juga dapat didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya himpunan bilangan asli. Sehingga, 

Un = f(n)

contoh : Un = (2n + 1) maka suku ke-4 dari baris tersebut adalah U4 = (2(4)+1) = 9

B. DERET

Deret adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan.

Penjumlahan suku-suku tersebut bisa dibuat dalam bentuk sigma.

Barisan dari suku U1, U2, …, Un yang dinyatakan dalam fungsi f(n) =Un memiliki deret sebagai :

Baris Aritmatika

Baris aritmatika merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Sehingga:

Un – U(n-1) = b

Contoh : baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b). rumusannya berikut ini:

Un = Uk + (n-k)b

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama Uk = a dan selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 dan nilai Un adalah:

Un = a + (n-1)b

Sisipan

Jika hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika dan memiliki selisih antar suku beredekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah suku q + 2 dan diurut berupa:

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1)b)

Diketahui bahwa suku terakhir:

(a + (q+1)b) = p

Maka, nilai b dapat ditentukan sebagai:

Misalkan a = 1 dan p = 9, jika disisipkan 3 bilangan diantara a dan p, maka baris belangan aritmatikanya adalah:

Nilai q = 3

Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5

Suku Tengah

Jika barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, maka memiliki suku tengah. Suku tengah baris aritmatika adalah suku ke- ½ (n+1). Jika diselesaikan dalam rumus Un = a + (n-1)b , maka nilai suku tengah didapatkan:

Un = a + (n-1) b

Baris Geometri

Baris geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan r. Perbandinganatau rasio antara nilai suku dengan nilai suku sebelumnya yang berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga:

Contoh : baris 1, 2, 4, 8, 16 merupakan baris geometri dengan nilai

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan rasio antar suku yang berdekatan (r). Rumusannya berikut ini:

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama  Uk = a dan rasio antar sukunya (r), maka nilai k = 1 dan nilai  adalah:

Sisipan

Jika hendak membuat sebuah baris geometri dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris geometri dan memiliki rasio antar suku beredekatan (r). Baris tersebut memiliki banyak suku q + 2 dan diurutkan menjadi:

a, ar, ar2, ar3, … , arq, ar(q+1)

Dimana suku terakhir tersebut:

ar(q+1) = p

Sehingga nilai r dapat ditentukan sebagai:

DERET ARITMATIKA

Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai:
Sn = U1 + U2 + U3 + ... + U(n-1)
atau sebagai :
Sn + a + (a+b) + (a+2b) + ... + (a+(n-2)b) + (a+(n-1)b)

Jika hanya diketahui nilai a dalalah suku pertama dan nilai adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi:

Sehingga diperoleh : 

DERET GEOMETRI

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku petama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung sebagai:

atau sebagai :

Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai Un adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

dengan syarat 0 < r < 1.

Atau:

dengan syarat r > 1.

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama dengan deret aritmatika yaitu:

DERET GEOMETRI TAK HINGGA

Suatu deret geometri dapat menjumlakan suku-sukunya sampai menuju tak hingga. Apabila deret geometri menuju tak hingga dimana , maka deret ini dapat dijumlah menjadi:

atau sebagai :

Deret geometri tak hingga terdiri dari 2 jenis yaitu konvergen dan divergen. Deret geometri tak hingga bersifat konvergen jika penjumlahan dari suku-sukunya menuju atau mendekati suatu bilangaan tertentu. Sedangkan bersifat divergen jika penjumlahan dari suku-sukunya tidak terbatas. Nilai deret geometri tak hingga dapat diperoleh dengan mengunakan limit. Sebelumnya diketahui bahwa nilai deret geometri adalah:

Dimana terdapat unsur rn  didalam perhitungannya yang terpengaruh jumlah suku n. Jika 

, maka untuk menentukan nilai rn dapat menggunakan limit yaitu:

dengan syarat -1 < r < 1.

Dan:

dengan syarat r < -1 atau r > 1.

Kemudian hasil limit  tersebut dapat dimasukan kedalam perhitungan deret sebagai:

dengan syarat -1 < r < 1

Dan:

dengan syarat r < -1 atau r > 1.

CONTOH SOAL

1.Terdapat sebuah barisan aritmatika sebanyak tujuh suku. Jika suku pertama dan nilai bedanya adalah 2. Berapakah suku tengahnya ?
a. 9
b. 8
c. 10
d. 12

Pembahasan:
a = 2
b = 2
n = 7
Ut= a + (n-1)b2 Ut= a + (n-1)b2 = 2 + (7-1)22 = 8

2. Suku ke-15 dari barisan: 2, 5, 8, 11, 14, … adalah…
a.41
b.44
c.45
d.47

Pembahasan:
Barisan di atas merupakan suatu barisan aritmatika karena juga memiliki beda yang sangat konstan.
Suku pertama = a= U1= 2
Beda = b =U2 – U1= 5–2 adalah 3
Suku ke-15 = U15
Un = a + (n – 1) b
U15 = 2 + (15 – 1) 3
= 2 + 14 . 3
= 2 + 42
= 44