HIMPUNAN, ELEMEN, DAN BILANGAN

HIMPUNAN, ELEMEN, DAN BILANGAN

A. HIMPUNAN

Himpunan adalah kumpulan benda/objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. 

Benda/objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan. 

Contoh himpunan:
• Himpunan bilangan ganjil kurang dari 5, anggota himpunannya adalah 1 dan 3.
• Himpunan bilangan prima kurang dari 10, anggota himpunannya adalah 2, 3, 5, dan 7.
Contoh bukan himpunan:
• Kumpulan baju-baju bagus.
• Kumpulan makanan enak.

Cara menyatakan himpunan

1. Dengan kata-kata. Contoh: A={himpunan bilangan cacah}

2. Dengan mendaftar anggotanya. Contoh: A={1,2,3,4,5,6,7}

3. Dengan notasi pembentuk himpunan. Contoh: A={x| x ∈ bilangan asli}

4. Dengan diagram venn

Jenis-Jenis Himpunan

1. Himpunan Bagian (Subset).

Jika himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B, maka ditulis A ⊂ B.

Artinya, kedua himpunan harus saling berkaitan.

Contoh :

A = {1,2,3,4,5} dan B = {2,4} maka  B ⊂ A

Karena, setiap elemen himpunan B merupakan elemen himpunan A,  tetapi  tidak sebaliknya. 

2. Himpunan Kosong (Nullset)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota sama sekali.

Syarat :

-Himpunan kosong ditulis { } atau ø (phi).

-Himpunan kosong tidak boleh dinyatakan dengan { 0 }.

 Sebab : { 0 } ≠ { }

3. Himpunan Semesta

Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “S” atau “U” (Universum).

Artinya, himpunan yang memuat semua anggota yang sedang dibicarakan.

4. Himpunan Sama (Equal)

Himpunan equal merupakan dua buah himpunan yang anggotanya sama.

Contoh :

A ={ c,d,e}    B={ c,d,e }   maka A = B

Setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.

Maka dinotasikan dengan A=B

5. Himpunan Lepas

Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama.

Contoh :

C = {1, 3, 5, 7} dan  D = {2, 4, 6}  maka himpunan C dan himpunan D saling lepas.

Sebab kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama.

6. Himpunan Komplemen (Complement set)

Himpunan komplemen dapat dinyatakan dengan notasi A^C 

Contoh :

S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ S.

Himpunan {1,2,6,7} merupakan komplemen, maka A^C = {1,2,6,7}

7. Himpunan Ekuivalen (Equal Set)

Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang jumlah anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.

Dinyatakan dengan notasi n(A) = n(B), A≈B artinya sederajat atau ekuivalen.

Contoh :

A = { w,x,y,z }→n(A) = 4

B = {  r,s,t,u   }→n(B) = 4

Maka n(A) = n(B) → A≈B

catatan :Anggota : ∈

             Bukan Anggota : ∉

             Banyaknya anggota Himpunan : n

             Himpunan kosong : { } atau ∅

             { x | . . . . . . .. } : syarat yang harus dipenuhi oleh x 

Operasi Pada Himpunan

1. Irisan ( ∩ ) → anggota yang sama dari dua himpunan
Contoh:
A = {1,2,4}
B = {2,4,6,8}
A ∩ B = {2,4}
A ∩ B =  {x| x ∈ A dan x ∈ B}

2. Gabungan ( ∪ ) → gabungan anggota kedua himpunan
Contoh:
A = {1,2,4}
B = {2,4,6,8}
A ∪ B = {1,2,4,6,8}
A ∪ B =  {x| x ∈ A atau x ∈ B}

3. Selisih ( - ) → anggota yang ada di A tetapi tidak ada di B

Contoh:
A = {1,2,4}
B = {2,4,6,8}
A - B = {1}
A - B = {x| x ∈ A tetapi x ∉ B}

4. Komplemen ( Pangkat c )
Contoh:
S = {1,2,3,4,5,6,7}
A = {1,3,5,7}
A^C = {2,4,6}
A^C = {x| x ∈ S tetapi x ∉ A}

5. Beda Setangkup
Contoh:
A = {2,4,6}
B = {2,3,5}
A ⊕ B = {3,4,5,6}
A ⊕ B = {x| x ∈ A tetapi x ∉ B, dan x ∈ B tetapi x ∉ A}

6. Kartesian
Contoh:
A = {1,2,3}
B = {8,9}
A ×  B = {(1,8),(1,9),(2,8),(2,9),(3,8),(3,9)}
A × B =  {(a,b)| a ∈ A dan b ∈ B}

B. ELEMEN

Elemen merupakan anggota dari suatu himpunan.

Jika tertulis A=bilangan prima kurang dari 10 atau dengan kata lain A={2,3,5,7}

maka elemen dari himpunan tersebut adalah bilangan 2, 3, 5, dan 7.

C. BILANGAN

Bilangan merupakan suatu konsep dalam ilmu matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran.

Simbol-simbol bilangan

P  =  bilangan bulat positif = {1,2,3,…}

N =  bilangan asli = {1,2,3,…}

Z =  bilangan bulat = {…,-2,-1,0,1,2,…}

Q = bilangan rasional

R = bilangan riil

C = bilangan kompleks

Macam-macam bilangan

1. Bilangan bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangan bulat positif.
Contoh: B = { …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….. }

2. Bilangan asli

Bilangan asli adalah bilangan positif yang dimulai dari bilangan satu
Contoh: A = { 1, 2, 3, 4, 5, ….. }

3. Bilangan prima

Bilangan prima adalah bilangan yang tidak dapat dibagi oleh bilangan apapun. Hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri
Contoh: P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ….. }

4. Bilangan cacah

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan nol dan positif

Contoh: C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ….. }

5. Bilangan nol

Bilangan nol adalah bilangan nol itu sendiri (0)

Contoh: N = { 0 }

6. Bilangan pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan a sebagai pembilang dan bilangan b sebagai penyebut.

Contoh: H = { ⅓, ⅔, ⅛, ⅝, ….. }

Keterangan tambahan: 4/2 = 2, berarti 4/2 bukan termasuk pecahan.

7. Bilangan rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b adalah anggota bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh: R = { ¼, ¾, …. }

8. Bilangan irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau bilangan selain bilangan rasional.

Contoh: I = { √2, √3, √5, √6, √7, ….. }

Keterangan tambahan: √4 = 2, berarti √4 bukan termasuk bilangan irrasional.

9. Bilangan Riil

Bilangan riil adalah bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irrasional.
Contoh: R = { 0, 1, ¼, ⅔, √2, √5, ….. }

10. Bilangan negatif

Bilangan negatif adalah bilangan yang bernilai negatif.
Contoh: N = { -3, -5, ¼, …. }
Keterangn tambahan: -2/-3 = ⅔, berarti -2/-3 bukan termasuk bilangan negatif.

11. Bilangan positif

Bilangan positif adalah bilangan yang bernilai positif selain nol.
Contoh: P = { 2, 3, 4, ¼, …. }

12. Bilangan ganjil

Bilangan ganjil adalah bilangan yang apabila dibagi 2 hasilnya selalu tersisa 1. Atau bilangan yang dapat dinyatakan dengan (2n-1) dengan n = bilangan bulat.
Contoh: G = {-3, -1, 1, 3, 5, 7, …. }

13. Bilangan genap

Bilangan genap adalah bilangan yang selalu habis dibagi 2.
Contoh: E = { 2, 4, 6, 8, 10, ….. }

14. Bilangan komposit

Bilangan komposit adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima.
Contoh: K = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, ….. }

15. Bilangan kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang angota-anggotanya (a + bi) dimana a, b ϵ R,  i2 = -1. 

Dengan a bilangan rill dan b bilangan imajiner.
Contoh: K = { 2-3i, 8+2, …. }

16. Bilangan imajiner

Bilangan imajiner adalah bilangan i (satuan imajiner) dimana i adalah lambang bilangan baru yang bersifat i2 = -1.
Contoh: M = { i, 4i, 5i, ….. }

17. Bilangan romawi

Bilangan romawi adalah sistem penomoran yang berasal dari romawi kuno menggunakan huruf latin yang melambangkan angka numerik.
Contoh: W = { I, II, III, IV, V, VI, IX, XII, …. }

18. Bilangan kuadrat

Bilangan kuadrat adalah bilangan yang dihasilkan dari perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri sebanyak dua kali dan disimbolkan dengan pangkat 2.
Contoh: D = { 2², 3², 4², 5², ….. }