LIMIT FUNGSI

-

Pengertian Limit Fungsi

Limit merupakan sebuah konsep matematika dimana sesuatu dikatakan “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan tertentu. Limit dapat berupa sebuah fungsi yang kodomainnya “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan asli tertentu.
limit fungsi ilustrasi

Limit Fungsi Aljabar

Dalam pengoperasian limit fungsi aljabar, terdapat beberapa hukum atau teorema limit yang perlu diperhatikan. Jika k konstanta, fungsi f dan fungsi g adalah fungsi-fungsi memiliki nilai limit yang mendekati bilangan c, maka :
NoTEOREMA
1\lim \limits_{x\to c}k=k
2\lim \limits_{x\to c}x = c
3k \cdot \lim \limits_{x\to c}f(x)
4\lim \limits_{x \to c}({f(x) + g(x)}) = \lim_{x\to c}f(x) + \lim_{x\to c}g(x)
5\lim \limits_x\to c({f(x) - g(x)}) = \lim_x\to c{f(x) - g(x)} = \lim_x{\to c}f(x) - \lim_{x \to c}g(x)
6\lim \limits_{x\to c}({f(x) \cdot g(x)}) = \lim_{x\to c}f(x) \cdot \lim_{x\to c}g(x)
7 \lim \limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}
8\lim \limits_{x\to c}(f(x)^n) = (\lim_{x\to c}f(x))^n
9\lim \limits_{x\to c}(\sqrt[n]{f(x)}) = \sqrt[n]{\lim_{x\to c}f(x)}

Ada tiga metode dalam mengerjakan limit fungsi aljabar, yaitu: 

1. Metode substitusi

Metode paling mudah dengan menentukan hasil suatu limit fungsi adalah dengan mensubstitusi langsung nilai  kedalam fungsi f(x). Syarat metode ini adalah jika hasil substitusi tidak membentuk nilai “tak tentu”. Contoh:
\lim \limits_{x\to 3}\frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{9 - 4}{3 + 2} = 1

2. Metode pemfaktoran

Jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu seperti:
∞, \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 x∞, ∞ – ∞, 00, ∞0, atau ∞∞
maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu sehingga bentuknya tidak menjadi bentuk tak tentu, baru kemudian bisa disubstitusikan x\to c. Contoh:
\lim \limits_{x\to 3}\frac{x^2 - 3x}{2x - 6} = \frac{x(x - 3)}{2(x - 3)} = \frac{3}{2}

3. Metode perkalian dengan akar sekawan

Metode ini digunakan jika pada metode substitusi langsung menghasilkan nilai limit yang irasional. Fungsi dikalikan dengan akar sekawannya agar bentuk limit tersebut tidak irasional, sehingga bisa dilakukan kembali substitusi langsung nilai x\to c. Contoh:
\lim \limits_{x\to -1}\frac{x +1}{1 - \sqrt{x + 2}} x (\frac{1 + \sqrt{x +2}}{1 + \sqrt{x + 2}}) = \frac{(x + 1)(1 + \sqrt{x+ 2})}{1 - (x + 2)}
=\frac{(x + 1)(1+\sqrt{x+2})}{-x - 1} = \frac{(x+1)(1+\sqrt{x+2})}{-(x+1)} = -(1 + \sqrt{x + 2})
=-(1 + \sqrt{-(1) + 2}) = -(1 + 1) = -2
Dalam pengoprasian limit fungsi aljabar, terkadang nilai x mendekati tak berhingga (∞), sehingga jika disubstitusikan fungsi menghasilkan nilai tak tentu. Dalam pengoperasian limitnya, terdapat beberapa hukum atau teorema limit yang perlu diperhatikan. Jika n adalah bilangan bulat, k konstanta, fungsi f dan fungsi g adalah fungsi-fungsi memiliki nilai limit yang mendekati bilangan c, maka:
NoTEOREMASYARAT
1\lim \limits_{x\to \infty}k = kk adalah konstanta
2\lim \limits_{x\to \infty}x^n = \infty
\lim \limits_{x\to \infty}\frac{1}{x^n} = 0
3\lim \limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x^n} = \inftyJika n = genap
\lim \limits_{x\to - \infty}\frac{1}{x^n}= - \inftyJika n = ganjil
4\lim \limits_{x\to \infty}k \cdot f(x) = k \cdot \lim \limits_{x\to \infty}f(x)k adalah konstanta
5\lim \limits_{x\to \infty}({f(x) + g(x)}) = \lim \limits_{x\to \infty} f(x) + \lim \limits_{x\to \infty}g(x)  \lim \limits_{x\to \infty}{f(x) + g(x)} = \lim \limits_{x\to \infty} f(x) + \lim \limits_{x\to \infty}g(x)
6\lim \limits_{x\to \infty}({f(x) - g(x)})  = \lim \limits_{x\to \infty}f(x) - \lim \limits_{x\to \infty}g(x)
7\lim \limits_{x\to \infty}({f(x) \cdot g(x)}) = \lim \limits_{x\to \infty}f(x) \cdot \lim \limits_{x\to \infty} g(x)
8\lim \limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim \limits_{x\to \infty}f(x)}{\lim \limits_{x\to \infty}g(x)}
9 \lim \limits_{x\to c}(f(x)^n) = (\lim \limits_{x\to c} f(x))^n
10\lim \limits_{x\to c}(\sqrt[n]{f(x)}) = \sqrt[n]{\lim \limits_{x\to c}f(x)}
11 \lim \limits_{x\to \infty}\frac{1}{f(x)} = \infty\lim \limits_{x\to \infty}f(x) = 0
\lim \limits_{x\to \infty}\frac{1}{f(x)} = 0\lim \limits_{x\to \infty}f(x) = \infty

Ada dua metode dalam mengerjakan limit fungsi aljabar bentuk tak berhingga:
  1. Membagi dengan pangkat tertinggi
Metode ini digunakan pada limit fungsi bentuk \lim \limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}. Metode ini dapat dikerjakan dengan membagi pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan variabel xn berpangkat tertinggi yang ada dalam fungsi  f(x) dan g(x). Setelahnya, baru dapat disubstitusi dengan x\to \infty. Contoh:
\lim \limits_{x\to \infty}\frac{4x-1}{x^2+2} = \frac{\frac{4x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}} = \frac{\frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2}} = \frac{0}{1} = 0
  1. Mengalikan bentuk sekawan
Metode ini digunakan pada limit fungsi bentuk \lim \limits_{x\to \infty}f(x) - \lim \limits_{x\to \infty}g(x). Metode ini dapat diselesaikan dengan perkalian bentuk sekawan:
\frac{\lim \limits_{x\to \infty}f(x)+\lim \limits_{x\to \infty}g(x)}{\lim \limits_{x\to \infty}f(x)+\lim \limits_{x \to \infty}g(x)}
kemudian dilanjutkan pembagian dengan metode pertama yaitu membagi dengan pangkat tertinggi. Contoh:
\lim \limits_{x\to \infty}(\sqrt{x^2 + 4x - 5 - \sqrt{x^2 -x -2}})
=\lim \limits_{n\to \infty}(\sqrt{x^2 + 4x -5 - \sqrt{x^2 - x - 2}})  x \frac{(\sqrt{x^2+4x-5 + \sqrt{x^2 - x - 2}})}{(\sqrt{x^2+4x-5} + \sqrt{x^2-x-2})}
= \lim \limits_{n\to \infty}\frac{((x^2+4x-5) - (x^2-x-2))}{(\sqrt{x^2+4x-5} + \sqrt{x^2-x-2})}  = \lim \limits_{n\to \infty}frac{5x-3}{(\sqrt{x^2+4x-5})+\sqrt{x^2-x-2}}
Kemudian pembilang dan penyebut dibagi x pangkat tertinggi yaitu x1:
\lim \limits_{n\to \infty}\frac{\frac{5x}{x}-\frac{3}{x}}{(\sqrt{\frac{x^2+4x-5}{x^2}}+\sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2}})} = \lim \limits_{n\to \infty}\frac{5-\frac{3}{x}}{(\sqrt{1+\frac{4}{x}-\frac{5}{x^2}}+ \sqrt{1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}})}
= \frac{(-0}{(1+1)} = \frac{5}{2}

Limit Fungsi Trigonometri

Limit juga dapat digunakan pada fungsi trigonometri. Penyelesaiannya sama dengan fungsi limit aljabar. Namun, agar mengerti penjalasan selanjutnya harus mengerti terlebih dahulu konsep dari trigonometri. Penyelesaian dalam limit fungsi ini dalam trigonometri bisa dilakukan dengan melakukan perubahan-perubahan bentuk sinus, cosinus, dan tangen.
Ada tiga bentuk umum dalam limit fungsi trigonometri, yaitu bentuk :

1. Bentuk \lim_{x\to c}f(x) = f(c)

Pada bentuk ini, limit dari fungsi trigonometri f(x) merupakan hasil dari substitusi nilai c ke dalam x dari trigonometri. Contoh : 
No.CONTOHNILAI LIMIT
1\lim \limits_{x\to ^\pi/_4} \sin 2x \sin \frac{\pi}{2}
2\lim \limits_{x\to \pi} \cos \frac{1}{2}xcos\frac{1}{2}\pi
3\lim \limits_{x\to ^\pi/_2} \tan x \tan\frac{\pi}{2}
Jika c = 0, maka rumus limit-limit trigonometrinya adalah sebagai berikut :
  • \lim \limits_{x\to 0} \sin x = 0
  • \lim \limits_{x\to 0} \cos x = 1
  • \lim \limits_{x\to 0} \cos x = 0

2. Bentuk \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}

Pada bentuk ini, limit diperoleh dari perbandingan 2 trigonometri berbeda. Kedua trigonometri tersebut jika langsung disubstitusi dengan nilai c menghasilkan f(c) = 0 dan g(c) = 0. Sehingga, nilai limit trigonometri tersebut menjadi bilangan tak tentu\frac{0}{0}. Penyelesaiannya sama dengan limit fungsi aljabar yaitu pemfaktoran. Contoh bentuk ini yaitu:
\lim \limits_{x\to ^\pi/_2}\frac{\sin 2x}{cosx} = \frac{2 \cos x \sin x}{cosx} = 2 \sin x = 2 \sin \frac{\pi}{2} = 2

3. Bentuk \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}

Pada bentuk ini, limit diperoleh dari perbandingan antara trigonometri dan fungsi aljabar. Jika disubstitusikan langsung akan menghaslikan bilangan tak tentu. Pada bentuk ini dikerjakan dengan konsep turunan. Bentuk rumus dasar limit ini adalah:
  • \lim \limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x} = 1
  • \lim \limits_{x\to 0}\frac{x}{\cos x} = 0
  • \lim \limits_{x\to 0}\frac{\cos x}{x} = \infty
  • \lim \limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x\to}\frac{x}{\tan x} = 1
Berdasarkan rumus dasar diataas, jika dikembangkan menjadi rumus-rumus berikut:
  • \lim \limits_{x\to 0}\frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}
  • \lim \limits_{x\to 0}\frac{ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}
  • \lim \limits_{x\to 0}\frac{ax}{\cos bx} = 0
  • \lim \limits_{x\to 0}\frac{\cos ax}{bx} = \infty
  • \lim \limits_{x\to 0}\frac{\tan ax}{bx} = \frac{a}{b}
  • \lim \limits_{x\to 0}\frac{ax}{\tan bx} = \frac{a}{b}
  • \lim \limits_{x\to 0}\frac{\sin ax}{\tan bx} = \frac{a}{b}
  • \lim \limits_{x\to 0}\frac{\tan ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}

Contoh Soal Limit Fungsi dan Pembahasan

Contoh Soal Limit 1

Tentukanlah nilai dari \lim_{x\to 2}(\frac{6-x}{x^2-4} - \frac{1}{x-2})     (UAN 2002)
Pembahasan 1 :
\lim \limits_{x\to 2}(\frac{6-x}{x^2} - \frac{1}{x-2}) = \lim \limits_{x\to 2}(\frac{6-x}{x^2-4} - \frac{x+2}{(x-2)(x+2)})  = \lim \limits_{x\to 2}\frac{(6-x) - (x+2)}{(x-2)(x+2)}
=\lim \limits_{x\to 2}\frac{4-2x}{(x-2)(x+2)} = \lim \limits_{x\to 2}\frac{-2(x-2)}{(x-2)(x+2)}  = \lim \limits_{x\to 2}\frac{-2}{(x+2)}
=-\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}

Contoh Soal Limit 2

Tentukanlah nilai dari \lim \limits_{x\to \infty}(\frac{\sqrt{4x+x^2} - \sqrt{2+x^2}}{3x})     (UN 2009)
Pembahasan 2:
\lim \limits_{x\to \infty}(\frac{\sqrt{4x+x^2}-\sqrt{2+x^2}}{3x}) = \lim_{x\to \infty}(\frac{\sqrt{\frac{4}{x^2}+\frac{x^2}{x^2}}-\sqrt{\frac{2}{x^2}+\frac{x^2}{x^2}}}{\frac{3x}{x}})  = \lim_{x\to \infty}(\frac{\sqrt{\frac{4}{x^2}+1}-\sqrt{\frac{2}{x^2}+1}}{3})
=(\frac{1-1}{3}) = \frac{0}{3} = 0

Contoh Soal Limit 3

Tentukanlah nilai dari  \lim \limits_{x\to 0}(\frac{x^2+ \sin x \tan x}{1- \cos 2x})     (SPMB 2002)
Pembahasan 3 :
\lim \limits_{x\to 0}(\frac{x^2+ \sin x \tan x}{1- \cos 2x}) = \lim \limits_{x\to 0}(\frac{x^2+ \sin x \tan x}{2sin^2x})  = \lim \limits_{x\to 0}(\frac{x^2}{2 \sin^2x}+\frac{\sin x \tan x}{2sin^2x})
= \lim \limits_{x\to 0}(\frac{x^2}{2sin^2x}+\frac{\sin x \tan x}{2 \sin^2x})  = \lim \limits_{x\to 0}(\frac{x^2}{2 \sin^2x}+\frac{\tan x}{2 \sin x})

=(\frac{1}{2(1^2)}+\frac{1}{2(1)}) = \frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 1

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

TRANSFORMASI ELEMENTER & DETERMINAN

-
Gambar
Transformasi Elementer  Kaidah-kaidah transformasi elementer :  ------ Apabila ada matriks A = (aij) -------- H ij(A) = Transformasi elementer pada matriks A, dimana baris ke-i ditukar dengan baris ke-j. Kij(A) = Transformasi elementer pada matriks A, dimana kolom ke-i ditukar dengan kolom ke-j. Hi(^)(A)  =  baris ke-i dikalikan dengan ^ dimana (^≠0) Ki(^)(A) =  kolom ke-i dikalikan dengan ^  Hij(^)(A) = baris ke-i ditambah dengan ^ dikali baris ke-j.  Hi+ (^Hj) Kij(^)(A) = nbaris ke-i ditambah dengan ^ dikali kolom ke-j. Jika diketahui B adalah matriks transformasi elementer dari A maka matriks A dicari dengan mengambil invers dari matriks B. Matriks Ekivalen Dua matriks A dan B disebut ekivalen, ditulis A ∼ B , jika B diperoleh dari A dengan melakukan transformasi elementer, dan sebaliknya A diperoleh dari B dengan melakukan invers transformasi elementer.  Contoh : Rank Matriks Rank baris dari matrik
Baca selengkapnya

METODE SARRUS & EKSPANSI LAPLACE

-
Gambar
Matriks lanjutan 2 Untuk determinan matriks ordo 3×3 : a. Metode Sarrus b. Minor dan Kofaktor Notasi Minor : |Mij| Minor adalah determinan dari submatriks yang dibentuk dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks tsb. Kofaktor :  Cij = (-1) i+j  x |Mij| c. Ekspansi Laplace Adalah suatu cara untuk menghitung determinan dengan kofaktor. Dapat ditulis dengan: |A|=a11|C11|+a12|C12|+a13|C13| Sifat-sifat Determinan :  a. Determinan suatu matriks sama dengan determinan dari transposenya, det (A) = det (A^t). Contoh :   b. Penambahan atau pengurangan suatu kelipatan bukan nol dari suatu baris/kolom dari baris/kolom lainnya tidak akan mempunyai pengaruh pada determinan.    c. Penukaran tempat antara dua baris atau kolom sembarang dari suatu matriks akan merubah tanda, tetapi tidak merubah harga absolut dari determinan. Contoh :   d. Determinan dari suatu matriks segitiga (triangular matriks), yaitu matriks dengan elemen-elemen nol diata
Baca selengkapnya

Kemitraan Lembaga Keuangan Penanam Modal/Investasi dan Build Operates Transfer (BOT)

-
Kemitraan adalah strategi atau kerjasama dalam bisnis yang dilakukan oleh dua pihak atau lebih dalam jangka waktu tertentu untuk meraih keuntungan bersama dengan prinsip saling membutuhkan, saling mengembangkan, saling menguntungkan, dan saling mempercayai yang melibatkan pelaku Usaha Mikro, Kecil, dan Menengah dengan Usaha Besar. Undang-undang Nomor 20 Tahun 2008 mengatur tentang Usaha Mikro, Kecil Dan Menengah. TUJUAN KEMITRAAN Meningkatkan pendapatan usaha dan masyarakat : kemitraan usaha dirancang sebagai bagian dari pemberdayaan usaha kecil masyarakat. Pengusaha besar berperan serta dalam memberdayakan usaha kecil sesuai kemampuan dan kompetensinya sehingga tumbuh menjadi usaha yang mandiri. Mendukung efisiensi ekonomi Memperkuat kemampuan bersaing : bisa mandiri demi kelangsungan usahanya sehingga bisa melepaskan diri dari sifat ketergantungan. Menghindari persaingan yang tidak sehat dan saling mematikan : Kemitraan dapat memberikan dampak sosial yang cukup tinggi. Artinya, n
Baca selengkapnya