HUBUNGAN DAN FUNGSI

A.   HUBUNGAN/RELASI

Relasi adalah hubungan antara anggota himpunan A dengan anggota himpunan B.

Dimana A = domain (daerah asal) dan B = kodomain (daerah kawan).

Cara menyatakan relasi :

1.       Diagram panah

2.       Diagram cartesius

Diagram Cartesius merupakan diagram yang terdiri dari sumbu X dan sumbu Y.

Pada diagram kartesius, anggota himpunan A terletak pada sumbu x, sedangkan anggota himpunan B terletak pada sumbu y. Relasi yang menghubungkan himpunan A dan B ditunjukkan dengan noktah/titik.

3.       Himpunan pasangan berurutan

Cara penulisan : anggota himpunan A ditulis pertama dan anggota himpunan B jadi pasangannya

Contoh :

A = {2, 3, 4, 6}

B = {2,3,4,6,8}

“faktor dari” merupakan relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B.

Buatlah relasi dalam bentuk himpunan pasangan berurutan

Jawab :
{(2,2)}, {(2,4)}, {(2,6)}, {(2,8)}, {(3,3)}, {(3,6)}, {(4,4)}, {(4,8)}, {(6,6)}

Jenis-Jenis Relasi :

1.Relasi Invers

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang apabila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sebagai berikut ; R-1= {(b,a) : (a,b)R}

Contoh:

A = {1,2,3} B = {x,y}
R = {(1,x), (1,y), (3,x)} relasi dari A ke B
R-1= {(x,1), (y,1), (x,3)} relasi invers dari B ke A

2. Relasi Simetrik

Misalkan R = (A, B, P(x,y)) suatu relasi. R disebut relasi simetrik, jika setiap (a,b)R berlaku (b,a)R. Dengan kata lain, R disebut relasi simetrik jika a R b berakibat b R a.
Contoh :
perhatikan satu per satu. Setiap kali kamu menemukan pasangan, misalnya (a, b), maka cari apakah (b, a) juga ada. Kalau ternyata tidak ada, pasti relasi itu tidak simetrik.

3. Relasi Refleksif

R disebut relasi refleksif jika tiap-tiap anggota A berelasi dengan dirinya sendiri
Contoh :

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan R = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)}

Apakah R relasi refleksif ? R bukan relasi refleksif, karna (2,2) tidak termasuk dalam R.

Jika (2,2) termasuk, yaitu R1= {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)} maka R1 merupakan relasi refleksif.

4. Relasi anti Simetrik

Disebut relasi anti simetrik jika (a,b)R dan (b,a)R maka a=b.

Dengan kata lain jika a, b A, a≠b, maka (a,b)R atau (b,a)R, tetapi tidak kedua-duanya.
Contoh :
Misalkan R suatu relasi pada himpunan bilangan asli yang didefinisikan “y habis dibagi oleh x”, maka R merupakan relasi anti simetrik sebab jika b habis dibagi a dan a habis dibagi b, maka a = b.
Misalkan A = {1, 2, 3} dan R1= {(1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2)}

maka R1bukan relasi anti simetrik, sebab (2,3)R1 dan (3,2)R1.

5. Relasi Transitif

Disebut relasi transitif jika berlaku (a,b)R dan (b,c)R maka (a,c)R.

Dengan kata lain andai a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c, maka a berelasi dengan c.
Contoh :
Misalkan A = {2,3,4,6,8} dan R di definisikan jika “a membagi b”

Maka R= {(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (4,8)}

Ketika (2,4) dan (4,8) Ꞓ R, terlihat bahwa (2,8) Ꞓ R.

Dengan demikian, R bersifat transitif

B.    FUNGSI

Fungsi adalah aturan yang mengubungkan setiap anggota himpunan A tepat dengan satu anggota himpunan B (relasi khusus).
Range (daerah hasil) adalah himpunan bagian dari B (kodomain) yang telah mempunyai pasangan di A.

Fungsi juga biasanya ditulis dengan y=f(x).
Dimana y adalah variabel bebas, dan x adalah variabel terikat.
*contoh :

Domain x = {1,2,3}, Cari daerah hasil dengan menggunakan aturan fungsi y=3x+7

Jawab :
Untuk x=1, y=3(1)+7=10
Untuk x=2, y=3(2)+7=13
Untuk x=3, y=3(3)+7=16
Maka, daerah hasilnya adalah {10,13,16}

Jika ditulis dengan pasangan berurut maka : {(1,10),(2,13),(3,16)}

*contoh :

A = {0,1,2,3,4}

B = {0,1,2,…,10}

Didefinisikan fungsi  f : A à B dengan f(x) = x + 5.

Tentukan hasil pemetaan dari x Ꞓ A oleh fungsi f, Df, Kf, dan Rf.

Jawab :

Peta dari x Ꞓ A oleh fungsi f yaitu y = f(x):

  f(0) = 0 + 5 = 5

  f(1) = 1 + 5 = 6

Df = Daerah Asal Df = A = {0,1,2,3,4)

Kf = Daerah Kawan Kf = B = {0,1,2,…,10}

Rf = Daerah Hasil Rf = {5,6,7,8,9}

  f(2) = 2 + 5 = 7

  f(3) = 3 + 5 = 8

  f(4) = 4 + 5 = 9

Sifat-sifat Fungsi :

1.    Fungsi Injektif (Fungsi Into/fungsi satu-satu)

Dikatakan fungsi injektif jika anggota kodomain hanya dipasangkan satu kali dengan anggota domain.

Anggota kodomain boleh tidak memiliki pasangan, namun semua anggota kodomain yang dipasangkan tidak boleh dipasangkan lebih dari satu.

2.    Fungsi Surjektif (Fungsi Onto)

Memiliki ciri yaitu anggota kodomain boleh memiliki pasangan lebih dari satu, namun tidak boleh ada anggota kodomain yang tidak dipasangkan. Fungsi surjektif biasanya terpenuhi apabila jumlah anggota kodomain sama/lebih banyak dari anggota domain.

3.    Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)

Merupakan gabungan dari fungsi injektif dan surjektif.

Pada fungsi bijektif, semua anggota domain dan kodomain terpasangkan tepat satu.

Kebalikan fungsi dari fungsi injektif dan surjektif, belum pasti fungsi

Namun kebalikan fungsi dari fungsi bijektif, juga merupakan fungsi

Terlihat bahwa kebalikan dari fungsi f juga merupakan fungsi/pemetaan

PERBEDAAN FUNGSI DAN RELASI

 Fungsi :  Memasangkan anggota domain tepat dengan satu anggota kodomain. Jadi tiap anggota A hanya memiliki satu pasangan di B

 Relasi  : Setiap anggota A boleh memiliki lebih dari satu pasangan di B. Boleh juga tidak memiliki pasangan

Kesimpulannya : setiap relasi belum tentu fungsi, namun setiap fungsi pasti merupakan relasi.